格陵兰没有那么大：一张 1569 年的航海图，还挂在你手机里
- 作者：Bougie
- 创建于：2026-10-20
打开任何一张世界地图——纸质挂图、Google Maps、高德、手机里的天气 App——你都会看到同一个画面：格陵兰是一块巨大的、几乎和非洲分庭抗礼的陆地。
非洲：3036.5 万 km²。格陵兰：216.6 万 km²。非洲装得下 14 个格陵兰。
可地图上格陵兰看起来比非洲还大。这不是错觉，也不是你想象力不好，是一张 457 年前画出来的航海图，直到今天还决定着你在屏幕上看到的世界。
下面所有数字都来自我写的两个脚本：一个做投影计算与数值微分（算每个投影在各纬度的变形指标），一个用粗轮廓多边形做条带积分（把格陵兰、非洲、中国分别放进真实球面和墨卡托平面里各称一次重）。环境是本机 Linux、Node v24.16.0，没有网络请求，没有地图库，只有三角函数。
# 一、先把结论摆出来
| 地区 | 真实面积（万 km²） | 墨卡托上的面积（万 km²） | 被放大的倍数 |
|---|---|---|---|
| 格陵兰 | 216.6 | 3775.5 | 15.5 倍 |
| 非洲 | 3036.5 | 3257.9 | 1.11 倍 |
| 中国 | 959.7 | 1439.7 | 1.56 倍 |
（格陵兰、非洲、中国用的是约 34/38/62 个顶点的粗轮廓做条带积分，实测轮廓面积与权威值分别偏差 +12.7%、−3.5%、−3.9%。关键在于：真实面积和投影面积用的是同一个轮廓，所以「放大的倍数」对轮廓误差不敏感——分母胖一点，分子等比例胖一点，比值几乎不动。）
三行数字，一句话概括：
墨卡托上，格陵兰看起来比整个非洲还大 16%；实际上非洲是它的 14 倍。
真实面积比：非洲 ÷ 格陵兰 = 14.02。 墨卡托上的面积比：非洲 ÷ 格陵兰 = 0.863。
一个被放大了 15.5 倍，一个几乎原样。这两块陆地在墨卡托投影里的"等效纬度"也很有意思：非洲的放大倍数 1.11 相当于把整块大陆搬到 18.5°N 的效果，格陵兰的 15.5 相当于搬到 75.3°N。
# 二、那个不断变大的系数：sec φ
墨卡托投影的数学其实出奇地简单。经度方向，投影保持不动：
x = λ （λ 是经度，弧度）
纬度方向，乘上一个随纬度增长的系数：
y = ln tan(π/4 + φ/2)
这个 ln tan(π/4 + φ/2) 求导之后就是 sec φ = 1/cos φ。也就是说，纬度 φ 处，地图在南北方向被拉伸 1/cos φ 倍。
而东西方向呢？地表上纬线圈的周长是 2πR·cos φ，投影到地图上全都被拉成同样的长度，所以东西方向也被拉长 1/cos φ 倍。两个方向一起拉，面积就是 (1/cos φ)² = sec²φ 倍。
| 纬度 | 线性拉伸 sec φ | 面积放大 sec²φ |
|---|---|---|
| 0° | 1.00 | 1.00 |
| 10° | 1.02 | 1.03 |
| 20° | 1.06 | 1.13 |
| 30° | 1.15 | 1.33 |
| 45° | 1.41 | 2.00 |
| 60° | 2.00 | 4.00 |
| 66.5°（北极圈） | 2.51 | 6.29 |
| 70° | 2.92 | 8.55 |
| 75° | 3.86 | 14.93 |
| 80° | 5.76 | 33.16 |
| 85° | 11.47 | 131.65 |
| 85.05°（Web Mercator 截断处） | 11.59 | 134.31 |
这张表解释了一切。格陵兰南北跨 59.8°N 到 83.6°N，大部分领土压在 65°~80°N 之间——这里每一块地的面积都被放大了 6 到 33 倍。而非洲从 37.3°N 延伸到 34.8°S，主体骑在赤道上，放大系数基本是 1。
更精确一点，把整个纬度带（全球一圈）放进公式里积分——这一步不需要任何海岸线数据，因为球面上纬度带 [φ₁, φ₂] 的真实面积是 2πR²(sin φ₂ − sin φ₁)，墨卡托上对应条带的面积是 2πR²(ln tan(π/4+φ₂/2) − ln tan(π/4+φ₁/2))，两个都是闭式解：
| 纬度带 | 真实面积（万 km²） | 墨卡托面积（万 km²） | 放大倍数 |
|---|---|---|---|
| 0°~10° | 4438.5 | 4484.0 | 1.01 |
| 10°~20° | 4303.7 | 4625.2 | 1.07 |
| 20°~30° | 4038.0 | 4931.3 | 1.22 |
| 30°~40° | 3649.7 | 5459.8 | 1.50 |
| 40°~50° | 3150.5 | 6333.2 | 2.01 |
| 50°~60° | 2555.6 | 7828.5 | 3.06 |
| 60°~70° | 1883.0 | 10695.9 | 5.68 |
| 70°~80° | 1153.2 | 17913.5 | 15.53 |
| 80°~85.05° | 293.0 | 18028.9 | 61.53 |
最后那一条带值得盯三秒：纬度 80° 以北的那一小圈，真实面积只有 293 万 km²（比格陵兰略大），可它在墨卡托地图上占了 1.8 亿 km²——差不多快 6 个非洲。
这也是为什么用两种方法算出来的格陵兰倍数略有差异：按纬度带全球均匀假设，格陵兰所在纬度带（59.8°~83.6°N）平均放大 12.16 倍；用真实轮廓积分是 15.5 倍。差异的原因是格陵兰在带内的"分布偏胖"——它的高纬部分（70°N 以北）占的经度比例比低纬部分更大，把加权平均值推向了更高放大的区域。
# 三、Web Mercator 的三个硬数字
1569 年，佛兰德斯制图师杰拉杜斯·墨卡托（Gerardus Mercator）发表了他那张著名的《新版并放大了的世界志，专为航海者修正》。他没有公开投影公式——那要等到 1599 年，英国数学家爱德华·赖特用逐纬度累加积分的方式把这张表的构造方法发表出来。
436 年后，Google Maps 在 2005 年把这张图的球面版本推给了几十亿人。为了让瓦片金字塔能整齐切块，它用半径 6378137 m（WGS84 长半轴）的正球代替椭球，社区给这个投影起了个非正式编号 900913（把「GOOGLE」用 leet 语写出来的样子），后来 EPSG 正式收编为 EPSG:3857，全名「WGS 84 / Pseudo-Mercator」——pseudo，就是 EPSG 在提醒你它连等角都不严格。
今天你手机里的地图，几乎都是 3857。它有三个值得记住的硬数字，全部可以自己推：
1. 纬度截断是 85.05112877981°。 Web Mercator 要把世界铺成正方形，正方形的半高是 πR（因为 x 方向半宽是 πR，从 −180° 到 180°）。解方程 y = R·ln tan(π/4 + φ/2) = πR，得 φ = 2·atan(e^π) − 90° = atan(sinh(π))，算出来就是 85.05112877981°。纬度比这更高的地方，公式里没有对应位置——不是画不下，是数学上不存在。
2. 这张世界图的总面积，恰好是地球表面积的 π 倍。 正方形边长 2πR = 40075.017 km，面积 4π²R²；地球表面积 4πR²。比值恰好是 π。每放大一个 zoom 级别，总像素翻四倍，这个 π 倍的超额比例始终不变。
3. 南极有 95.3 万 km² 直接不存在于 Web Mercator。 85.05°S 以南的球冠面积 = 2πR²(1 − sin 85.0511°) = 95.3 万 km²，那一圈几乎全是南极大陆，约占南极洲面积的 6.8%。所以你在 Google Maps 上永远看不到完整的南极——不是企鹅害羞，是被公式裁掉了。
顺带把瓦片坐标也算了一遍（slippy map 标准公式）。天安门在 z=12 的瓦片号是 (3372, 1552)，z=18 是 (215830, 99328)。而 z=4 的时候，天安门和上海人民广场的瓦片号都是 (13, 6)——z=4 一张 256 像素的瓦片就装下了大半个中国，此时每像素在赤道对应 9784 米。
# 四、前端的坑：EPSG:3857 里的"米"不是米
这是写地图相关代码的人迟早会撞上的一堵墙。
3857 坐标的单位名义上是米，但在 60°N，3857 里 1000 个单位的实际地面距离只有约 501 米。我用文森蒂公式（Vincenty，椭球上的精确测地线算法）做了交叉验证：从 (116°E, φ) 出发让 3857 的 X 增加 1000，反算地面实际距离；再让 Y 增加 1000 做同样的事：
| 纬度 | X +1000 对应地面东西向（m） | Y +1000 对应地面南北向（m） | 面积放大倍数 |
|---|---|---|---|
| 0° | 1000.00 | 993.31 | 1.01 |
| 20° | 940.06 | 934.47 | 1.14 |
| 40° | 767.11 | 764.05 | 1.71 |
| 60° | 501.26 | 500.38 | 3.99 |
| 80° | 174.21 | 174.17 | 32.96 |
注意东西向和南北向的数值几乎相等（差异来自椭球扁率，球模型下严格相等）——这正是墨卡托"等角"性质在数值上的体现：局部形状是对的，圆还是圆，但圆的半径错了。60°N 处面积放大 3.99，和理论值 sec²60° = 4 吻合。
落到日常场景：
同一张 z=12 的地图上，100 个像素在广州代表 3.52 km，在哈尔滨只代表 2.66 km（比值 1.32，等于 cos23.13° ÷ cos45.8°）。朗伊尔城（78.2°N）只有 7.8 米——是广州的 4.5 倍。
在 z=12 的 3857 平面上画一个"地面半径 1 km"的圆，需要的像素半径随纬度变化： 赤道 26.17 px，广州 28.45 px，北京 34.11 px，60°N 52.33 px，78°N 要 125.85 px——是赤道的 4.8 倍。如果你的代码里直接拿固定像素半径去画地理缓冲区（buffer），纬度一高就全错。
直接在 3857 数据上算多边形面积，结果随纬度虚高：60°N 的多边形算出来是真实面积的 4 倍。这就是为什么 Turf.js 之类的库要在球面/椭球上做面积计算，而不是在 3857 平面上。
还有一个更深一层的取巧：3857 用正球半径 6378137 m 代替 WGS84 椭球。我把球面墨卡托和椭球墨卡托（把 WGS84 第一偏心率 e 塞回 y 公式的那一版）都算了一遍，两者的 Y 坐标差异：
| 纬度 | 球墨卡托 Y（m） | 椭球墨卡托 Y（m） | 差值（km） |
|---|---|---|---|
| 10° | 1 118 890 | 1 111 475 | 7.4 |
| 30° | 3 503 550 | 3 482 189 | 21.4 |
| 45° | 5 621 522 | 5 591 296 | 30.2 |
| 60° | 8 399 738 | 8 362 699 | 37.0 |
| 75° | 12 932 243 | 12 890 914 | 41.3 |
中纬度处系统性的 30~40 km 偏差。对导航无所谓（相对形状是对的），对"把两个数据源精确对齐"的 GIS 工程来说，这个误差足够让图层错位半个城市。
# 五、为什么五百年不换：因为水手要的是直线
既然变形这么夸张，为什么航海图、乃至整个 Web 地图，都赖在墨卡托上？
答案是墨卡托当年为了航海者做的那个取舍：等角投影（conformal）保证图上任何一点的局部方向关系与地表一致，于是"保持固定罗盘航向的航线"——恒向线（rhumb line / loxodrome）——在图上是一条直线。
1569 年的船长没有 GPS，只有罗盘。图上量一条直线，读出角度，罗盘保持这个角度开就行。这个性质在当年价值连城——代价是高纬度面积爆炸，而当年没人在乎北边有什么。
恒向线要付的代价可以精确计算。它的球面距离公式是：
Δψ = ln tan(π/4 + φ₂/2) − ln tan(π/4 + φ₁/2)
d = R · √(Δφ² + q²·Δλ²) 其中 q = Δφ/Δψ
我拿文森蒂椭球距离做基准，把几条航线都算了一遍：
| 航线 | 椭球大圆（km） | 恒向线（km） | 恒向线多走 | 恒向线航向 |
|---|---|---|---|---|
| 上海 → 悉尼 | 7852.8 | 7892.3 | +0.50% | 156.7° |
| 伦敦 → 纽约 | 5585.2 | 5800.6 | +3.86% | −102.0° |
| 深圳 → 法兰克福 | 9147.0 | 9752.8 | +6.62% | −71.7° |
| 上海 → 洛杉矶 | 10455.0 | 11277.4 | +7.87% | 88.4° |
| 北京 → 纽约 | 11014.5 | 14396.1 | +30.70% | 89.6° |
规律一目了然：航线越接近南北向，恒向线越接近大圆（上海 → 悉尼只多 0.5%）；越接近东西向、纬度越高，亏得越多——北京飞纽约，恒向线要求你保持 89.6°（几乎正东）一路开到底，比大圆多飞 3382 km，三分之一。
真实航班走的是大圆：北京飞纽约的航迹在墨卡托地图上是一条明显向北弯的弧线，途经北极圈附近——在地图上看着"绕远"，实际是最短的。看航迹图觉得"飞机为什么绕路"的人，基本都是被墨卡托骗了。
# 六、等积的代价：没有免费的午餐
那么换个面积正确的投影不就完了？问题在于任何投影都必须弄坏点什么——球面不可能无变形地展开成平面，这是高斯早就证明了的（球面高斯曲率非零，平面为零，等距映射不存在）。区别只是：你想保什么，坏什么。
把这件事量化的标准工具是 Tissot 指标椭圆：在球面上放一个无限小的圆，投影后看它变成什么样。用数值微分算出每个投影在各纬度的指标椭圆，就能读出四个量：沿经线的缩放 h、沿纬线的缩放 k、面积因子（h·k·sinθ′），以及最大角度变形 ω：
| 投影 | 纬度 | h（经线） | k（纬线） | 面积因子 | 最大角变形 ω |
|---|---|---|---|---|---|
| 墨卡托 | 0° | 1.000 | 1.000 | 1.00 | 0.00° |
| 墨卡托 | 45° | 1.414 | 1.414 | 2.00 | 0.00° |
| 墨卡托 | 60° | 2.000 | 2.000 | 4.00 | 0.00° |
| 墨卡托 | 75° | 3.864 | 3.864 | 14.93 | 0.00° |
| 等距圆柱 | 60° | 1.000 | 2.000 | 2.00 | 38.9° |
| 兰勃特等积圆柱 | 60° | 0.500 | 2.000 | 1.00 | 73.7° |
| 兰勃特等积圆柱 | 75° | 0.259 | 3.864 | 1.00 | 122.0° |
| 摩尔维特 | 45° | 0.975 | 1.026 | 1.00 | 2.95° |
| 摩尔维特 | 75° | 0.679 | 1.472 | 1.00 | 43.2° |
| Equal Earth（2018） | 45° | 0.958 | 1.044 | 1.00 | 4.96° |
| Equal Earth（2018） | 75° | 0.466 | 2.146 | 1.00 | 80.1° |
这表把每种投影的"人设"暴露得干干净净：
墨卡托：ω 一列全是 0.00°——任何纬度、任何位置，最大角度变形为零。这就是"等角"的严格含义：指标椭圆永远是个正圆（虽然半径被放大到 3.86）。形状处处保真，面积无条件爆炸。
兰勃特等积圆柱：面积因子一列全是 1.00，但代价触目惊心——75°N 处经线方向被压到 0.26 倍、纬线方向拉到 3.86 倍，指标椭圆被压成 1:14.9 的细长条，最大角变形 122°。这就是"等积圆柱投影里加拿大看着像一条腊肠"的数学出处。
摩尔维特（Mollweide）：45° 以内最大角变形不到 3°，是这份表里综合表现最好的，但它是个椭圆边界的"世界地图专用"投影，没法做瓦片金字塔——你没法把一个椭圆铺满平面格子。
Equal Earth：2018 年才发表的投影，设计目标就是"要摩尔维特的等积，又要矩形边界好看"，45° 处 ω 只有 4.96°。发布当年就被 NASA 拿去画全球温度图了。
顺便说一句历史上那场著名的投影战争：1970 年代，德国历史学者阿诺·彼得斯大力推广一种等积圆柱投影（其实 1885 年詹姆斯·高尔就提出过），以"第三世界被墨卡托矮化了"为卖点进行宣传，引发地图学界的强烈反弹——因为它的形状变形比墨卡托难看得多（上表的兰勃特等积圆柱就是它的近亲）。1989 年北美地图学组织甚至联合发表声明，公开反对"用矩形等积投影解决墨卡托问题"的营销。等积没赢，等角也没赢——因为这道题本来就没有全解。
# 最后
写完这篇我盯着手里的三个数字看了很久：
- 真实世界里，非洲是格陵兰的 14.02 倍；
- 墨卡托上，格陵兰反过来比非洲大 16%；
- 而我们大多数人，是在第二套数字里建立的"世界有多大"的直觉。
没什么惊天动地的结论。只是又一次确认了一个老规律：你看到的每一张图，都是一次取舍的结果。墨卡托保了方向和形状，扔了面积；兰勃特保了面积，扔了形状；Web Mercator 保了瓦片好切，扔了椭球精度。没有一张图是错的，也没有一张图是全对的。
地图如此，别的图也一样——包括那些看起来不像图的图：排行榜、指标看板、时间线。它们的"投影公式"通常没有写在角落里，但它一定存在。
下次打开地图，可以顺手做一件事：把地图拖到哈尔滨，再拖到广州，注意比例尺那个数字的变化。它没变，变的是这个数字愿意撒多大谎。
附注：文中所有计算的具体数值复现——墨卡托投影 y 公式、纬度带闭式积分、Tissot 指标的数值微分、恒向线距离、Vincenty 椭球测地线——都是十几行三角函数就能重写的，感兴趣的可以自己搭一遍，跑出来的数字应该和本文逐位一致（Vincenty 部分与椭球基准有关，允许最后两位浮动）。