对折之后还是自己：A4 纸里的 √2，和美国那张谈不拢的纸
- 作者：Bougie
- 创建于：2026-11-02
把一张 A4 对折，得到 A5。再对折，A6。再对折，A7。
这个过程里最容易被讲成神话的一句话是"比例始终不变"。它基本对，但没那么干净。我拿尺子算了一遍：A4 是 297/210 = 1.4143，A5 反过来是 210/148 = 1.4189，A6 是 148/105 = 1.4095，到 A8 又跳回 1.4231。
也就是说，所谓"比例不变"，在整数毫米的世界里其实一直在抖，抖的幅度比 √2 本身大两个数量级。原因很朴素：297 除以 2 是 148.5，标准把那半个毫米砍了。砍一次叫舍入，砍十次就是误差累积。
但这套体系的核心仍然是成立的，而且成立得极其严格——严格到它只有唯一解。
# 只有一个比例经得起对折
设一张纸短边为 1、长边为 x。沿长边对折，你得到一张短边 x/2、长边 1 的新纸，新比例是 1 ÷ (x/2) = 2/x。
要让它和原来一样，就得 2/x = x，也就是 x² = 2。
x = √2 = 1.41421356…
没有第二个正数解。这不是"选了个好看的数"，这是"对折"这个动作本身写出来的方程。
顺手推广一下：如果不折成两半，而是切成 k 条等宽的纸条，新比例是 k/x，要求 k/x = x，得 x = √k。切两半是 √2，切三条是 √3，切四条是 2——到 √4 这儿比例退化成整数，每条正好是 1:2 的长条。
黄金比例做不到这件事。1.618 的矩形对折之后变成 1 × 0.809，比例 1.236，和 1.618 差了 23.6%。它很美，但它不耐折。
这里有个我挺喜欢的对照：√2 的连分数是 [1; 2, 2, 2, 2, …]，黄金比例的连分数是 [1; 1, 1, 1, …]。两个都是连分数里最规整的数，但规整在两边的含义相反——φ 的 [1;1,1,…] 让它成为"最难被有理数逼近"的无理数，那是一种孤高；√2 的收敛分数 3/2、7/5、17/12、41/29、99/70 却一个比一个听话，而 297/210 约分之后正好是 99/70。
纸要的就是后面这种性质：它得能被毫米整数逼近，还得在逼近之后经得起反复除以二。φ 两样都不给。
# 一个教授的信，和一部短命的法
第一个把这件事写下来的人叫格奥尔格·克里斯托夫·利希滕贝格，哥廷根大学的实验物理学教授。他今天更有名的是两样东西：一本刻薄的格言集，和"利希滕贝格图形"——高压放电在绝缘体表面烧出的树枝状纹路，在老式物理实验室的玻璃板上还能见到。
1786 年 10 月 25 日，他给朋友约翰·贝克曼写了封信，说一张纸如果长边是短边的 √2 倍，对半切开还是同样的形状；还说自己手边那张普通信纸"已经很接近这个比例"，语气里有点捡到便宜的愉快。
然后这事就被忘了。
不是完全没人提，是提了也没用——一个数学性质，跟"纸该多大"之间还隔着一整个产业。中间有人试过一次。
1798 年，共和历七年，印花税法给官方文书定了一套尺寸，边长比正好是 1:√2。最大的那个叫 Grand registre，420 × 594 毫米——你今天量一张 A2，就是这个数。往下还有 Moyen papier、Grand papier 等等一串名字。
这套尺寸没活几年。我的解释是：它锚在一串名字和用途上，没锚在一个可以复算的基数上。Grand registre 之所以是 420 × 594，是因为"公文大概这么大"，而不是因为某个数除以某个数等于它。税法一改，纸跟着改；政权一换，名字全废。
纸需要一个不随人走的锚。这个锚要等一百二十多年。
# 1922 年，有人补上了那一刀
一战刚打完，德国人正在给一切东西编标准。1911 年，化学家威廉·奥斯特瓦尔德提出过一个"世界格式"（Weltformat），用的也是 √2 比例，但他把基准定在长度上：最小那号纸的短边是 1 厘米。
工程师瓦尔特·波斯特曼不同意。1918 年他写了一篇长文，主张纸的基准不该是长度，该是面积——因为纸是按面积卖的，按重量称的，按吨装的。长度是个附带结果，面积才是生意。
他给出的方案简单到有点粗暴：取一张 1 平方米、比例 √2 的纸，叫 A0。对折得 A1，再对折 A2，一路到 A10。
1921 年，德国工业标准委员会（DIN 的前身）通过了这个方案。1922 年 8 月 18 日，DIN 476 发布。第一个用它的是德国国营铁路总局，1923 年秋天。
这一刀补上之后，奇妙的性质才开始成串地掉出来。因为 A0 被钉死在 1 平方米，所以 A4 的面积不是"210 × 297 大约六万二千平方毫米"，而是精确的 1/16 平方米。所有的换算都变成了除法：除以 2、除以 4、除以 16。
这套东西扩散得很快，因为它对纸厂和印刷厂都省钱：只需要备一种形状的纸，放大缩小不用裁切。比利时 1924 年跟进，荷兰 1925，挪威 1926，瑞士 1929，瑞典 1930，苏联 1934。日本 1951 年也用了，但自己另立了一套 B 系列——用算术平均而不是几何平均算的，所以日本的 B5 和 ISO 的 B5 不是一个东西，这个坑至今还在。
1975 年，用的人太多了，它变成 ISO 216，同时也成了联合国文件的格式。到 1977 年，A4 已经是 148 个国家里 88 个的标准信纸。
这张照片是 1919 年入档的，比 DIN 476 早三年。那时候这些机器还在为十几种互不兼容的纸型供货。
# 一张 A4 正好五克
面积基准最大的好处，是它把纸的几何和纸的重量接上了。
80 g/m² 的纸，A4 是 A0 的 1/16，所以一张 A4 是 80 ÷ 16 = 5.000 克。不是"大约 5 克"，是定义上的 5 克。
如果你不信定义，拿名义尺寸硬算：80 × 0.06237 = 4.9896 克。差的这 0.0104 克（0.208%），正好等于 62370 与 62500 平方毫米之间那 130 平方毫米的缺口——就是前面那个"砍掉的半个毫米"。
这个差在公差面前不值一提。ISO 216 规定，150 到 600 毫米这一档的尺寸公差是 ±2 毫米。也就是说，一张合法的 A4 边长可以在 208×295 到 212×299 之间，重量在 4.9088 到 5.0710 克之间浮动。纸厂比你更清楚这件事，所以卖纸从来不按张数算钱。
但"一张 5 克"这个数有个实际用处：它让你手上随时有一个标准砝码。500 张一包，正好 2.5 公斤，不用看包装上的小字。寄快递估重的时候，这个数比厨房秤好用。
大西洋另一边用的是一套完全不同的记账方式，而混乱就是从这儿开始的。
美国的纸按"令重"卖：20 磅、24 磅、28 磅。这个磅数不是一张纸的重量，也不是一令 Letter 的重量，而是500 张 17 × 22 英寸未裁纸的重量。17 × 22 这张大纸，正好是 4 张 Letter。
换算公式是 GSM = 磅数 × 1406.14 ÷ 基准面积（平方英寸），那个 1406.14 是 453.59237 克 ÷ (500 张 × 0.00064516 平方米) 得来的。代进去：20 × 1406.14 ÷ 374 = 75.195 g/m²。
所以"20 磅纸"其实比"80 克纸"轻 6%，一张 Letter 只有 4.5359 克——比 A4 的 5 克少了将近一成。两家都说自己的是"标准复印纸"，重量根本不一样。
更麻烦的是这个数字是相对的。同样是 80 磅：写成 bond 是 120 g/m²，写成 text 是 118，写成 cover 是 216，差了将近一倍。因为三个"令"的基准尺寸完全不同——bond 用 17×22，text 用 25×38，cover 用 20×26。"80 磅"离开后缀什么都不是。 克重是绝对量，磅重是"某个你这辈子没见过的大纸的 500 张"，这两件事被同一个词盖住了。
# 大西洋另一边的那张纸
Letter 是 8.5 × 11 英寸，也就是 215.9 × 279.4 毫米，比例 1.2941。离 √2 差 8.49%，面积比 A4 小 3.28%。
ANSI 系列用的也是"对折"这套规则：新短边等于旧长边，新长边等于旧短边的两倍。问题出在起点上——
| 规格 | 尺寸（英寸） | 比例 |
|---|---|---|
| ANSI A（Letter） | 8.5 × 11 | 1.2941 |
| ANSI B（Tabloid） | 11 × 17 | 1.5455 |
| ANSI C | 17 × 22 | 1.2941 |
| ANSI D | 22 × 34 | 1.5455 |
| ANSI E | 34 × 44 | 1.2941 |
比例在 1.2941 和 1.5455 之间来回跳，永远回不到一个固定值。后果很具体：把 Letter 放大到 Tabloid，缩放比受宽度限制是 129.41%，放大后高度只有 14.235 英寸，而 Tabloid 有 17 英寸——你只用掉了 83.7% 的高度。A4 放大到 A3 是 141.4%，一分不多一分不少，因为那张纸就是按这个比例长的。
至于 8.5 × 11 是怎么来的，有两个版本。版本一是 1921 年，时任商务部长胡佛设了个"纸张尺寸简化委员会"，给联邦表格定了 8 × 10.5 英寸；但业界早就按 8.5 × 11 生产了，两套尺寸并存了几十年，联邦政府直到 1980 年才正式改用 8.5 × 11，最后写进 ANSI/ASME Y14.1。
版本二更浪漫：手工造纸时代，抄纸工的网模大约 44 × 17 英寸——再大就提不动了。这张网模四开，就是 8.5 × 11。
我把这道算术做了一遍，发现它差一步。44 × 17 = 748 平方英寸，一张 Letter 是 93.5 平方英寸，748 ÷ 93.5 = 8。这张网模切出来是 8 张 Letter，不是 4 张。四开得到的是 11 × 17，也就是今天的 Tabloid。
但传说的另一半恰好是对的：44 × 17 正好是两张 22 × 17，而 17 × 22 就是"20 磅纸"的基准尺寸。也就是说，那张网模、那个磅数、和 Letter 这张纸，全都出自同一个母版。传说是真的，只是多折了一刀。
# 互相塞进去
A4 和 Letter 互相打印的时候，缩放比是不对称的，方向也永远一致。
Letter 的内容打到 A4 上：受宽度限制，缩放 97.267%。打完是 210.00 × 271.76 毫米，竖向剩 25.24 毫米，上下各 12.62。
A4 的内容打到 Letter 上：受高度限制，缩放 94.074%。打完是 197.56 × 279.40 毫米，横向剩 18.34 毫米，左右各 9.17。
94% 这个数字你应该见过。每次在 Word 里点"缩放以适合纸张大小"，A4 转 Letter 就是它。它不是一个随便给的默认值，它是 279.4 ÷ 297 除出来的结果。
# 这些数字其实一直在你屏幕上
PDF 和 CSS 里说的"点"，是 1/72 英寸。所以 A4 换算过去是 595.276 × 841.89 pt——你大概在某个导出面板里见过 595 × 842 这个近似值。
841.89 不是随便来的，它是 297 ÷ 25.4 × 72。取整到 842 之后，一张 A4 的页面高度其实比标准高了 0.11 pt，也就是 0.039 毫米。这个误差谁也看不见，但它是真的。
300 dpi 下 A4 是 2480 × 3508 像素。这两个数都不圆，因为 210 ÷ 25.4 = 8.268 英寸，乘 300 得 2480.3。你在设计软件里新建一个"A4 300dpi"的画布，其实是在替 1922 年那次取整再做一次取整。
还有个几乎没人用的数：A4 的对角线是 √3 × 210 = 363.7 毫米。这不是巧合，任何 √2 矩形的对角线都等于 √3 倍短边，因为 √(1² + (√2)²) = √3。所以 A4 的对角线比 A3 的短边（297）还长一截——拿 A4 去量 A3 的边是量不准的，但拿它去量自己，你手里就有一把 364 毫米的尺子。
# 信封是算出来的
纸定了，装纸的东西就得跟着算。
C 系列不是独立设计的，它是同级 A 和 B 的几何平均。C4 的两条边分别是 √(210 × 250) = 229.1 和 √(297 × 353) = 323.8，标准取 229 × 324。
拿它跟 A4 比：229 ÷ 210 = 9.05%，324 ÷ 297 = 9.09%。波斯特曼当年就主张信封要比内容大 10%，这个 10% 是标准里实打实兑现了的，不是约数。
C5 是 162 × 229，装对折一次的 A5（148 × 210），余量 9.5% 和 9.0%。C6 是 114 × 162，装对折两次的 A6（105 × 148）。
DL 是个例外。110 × 220，装的是三折的 A4（99 × 210）——横向余 11.1%，纵向只剩 4.8%，只有 10 毫米。它不是 C 系列算出来的，它是为"A4 折三折"这一个动作单独定的，所以两边余量不均匀。摸过 DL 信封的人大概都有感觉：纸塞进去，上下几乎贴着边。
# 回到那个 94% 的按钮
我桌上那包 A4 还剩一百多张。按一张 5 克算，大概 700 克——下次寄东西，这个数能顶一次称重。
这套体系赢得不漂亮。它不是被谁的审美说服的，它是被"不用做决定"这件事推着走的：一张纸对折之后，你要不要重新排版？在 √2 的世界里这个问题不存在，因为它折完还是自己。在 1.2941 的世界里，每换一次尺寸都要重新算一次留白，算到最后大家都懒得算，直接把内容缩一缩了事。
利希滕贝格在 1786 年发现的是一个纯数学事实，他自己大概也没想到，两百年后它决定了你打印机纸盒里那叠东西的形状。中间隔着的不是灵感，是一百三十年的沉默、一次失败的立法、和一场 1922 年的标准化会议——那场会议上，美国人没在桌边。
所以下次有人跟你说 A4 好看，你可以告诉他：它不好看，它只是折不断。这两件事在纸上是同一件事，在其他地方往往不是。
图片来源与许可
- 封面：Dietmar Rabich，《Papierkanten》（2020），CC BY-SA 4.0，Wikimedia Commons (opens new window)
- 图一、图五：User:Bromskloss，《A size illustration2》与《A size illustration2 with letter and legal》，CC BY-SA 3.0，图一 (opens new window) · 图五 (opens new window)
- 图二：Johann Ludwig Strecker 铜版肖像之后作，《Georg Christoph Lichtenberg》，公有领域，Wikimedia Commons (opens new window)
- 图三：Sage Ross，《6 reams of paper stacked on the floor》，CC BY-SA 3.0，Wikimedia Commons (opens new window)
- 图四：佚名，《Paper machine room in Fenimore Mills, seen from the "dry end"》（1919），美国国家档案馆，公有领域，Wikimedia Commons (opens new window)
所有数字的计算脚本在仓库 scripts/experiments/a4-sqrt2.mjs，运行输出另存了一份 a4-sqrt2.txt，可以自己跑一遍核对。